2017高一數學知識點總結集合

　　高一數學集合知識點總結

　　一.知識歸納：

　　1.集合的有關概念。

　　1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　　②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

　　③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

　　2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4)常用數集：n，z，q，r，n*

　　2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若對x∈a都有x∈b，則a b(或a b);

　　2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;記為a b(或 ，且 )

　　3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b}

　　4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b}

　　5)補集：cua={x| x a但x∈u}

　　注意：①? a，若a≠?，則? a ;

　　②若 ， ，則 ;

　　③若 且 ，則a=b(等集)

　　3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區別;(2) 與 的區別;(3) 與 的區別。

　　4.有關子集的幾個等價關系

　　①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

　　④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

　　5.交、并集運算的性質

　　①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

　　③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

　　6.有限子集的個數：設集合a的元素個數是n，則a有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

　　二.例題講解：

　　【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，則m,n,p滿足關系

　　a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

　　分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

　　解答一：對于集合m：{x|x= ,m∈z};對于集合n：{x|x= ,n∈z}

　　對于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以m n=p，故選b。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

　　= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。

　　點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合 ， ，則( b )

　　a.m=n b.m n c.n m d.

　　解：

　　當 時，2k+1是奇數，k+2是整數，選b

　　【例2】定義集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a*b的子集個數為

　　a)1 b)2 c)3 d)4

　　分析：確定集合a*b子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={1,7}，有兩個元素，故a*b的子集共有22個。選d。

　　變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數為

　　a)5個 b)6個 c)7個 d)8個

　　變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析 本題集合a的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

　　解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?41+r=0,r=3.

　　∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

　　∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數b,c,m的值.

　　解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴

　　又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=22=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b滿足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

　　分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。

　　解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

　　綜合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

　　變式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m

　　①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數a的取值范圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數分離求解。

　　解答：(1)若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值范圍是

　　變式：若關于x的方程 有實根,求實數a的取值范圍。

　　解答：

　　點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。