角的概念的推廣（通用2篇）

角的概念的推廣 篇1

　　課題：角的概念推廣（第一課時）教學目的：1.掌握用“旋轉”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。2.掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法。3.從“射線繞著其端點旋轉而形成角”的過程，培養學生用運動變化觀點審視事物，從而深刻理解推廣后的角的概念。教學重點：理解并掌握正角負角零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法。教學難點 ：終邊相同的角的表示內容分析：本節主要介紹推廣角的概念，引入正角、負角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法。樹立運動變化的觀點，理解靜是相對的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念。教學方法可以選為討論法，通過實際問題，使角的推廣變得更為必要，如螺絲扳手緊固螺絲、時針與分針、車輪的旋轉等等，都能形成角的概念，給學生以直觀的印象，形成正角、負角、零角的概念，突出角的概念的理解與掌握。通過具體問題，讓學生從不同角度作答，理解終邊相同的角的概念，并給以表示，從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，達到突破難點之目的。教學過程 ：一、復習引入：1.回憶：初中是如何定義角的？從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形。這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，角的范圍是 ，但其僅從圖形的形狀來定義角，弊端在于“狹隘”。2.生活中很多實例會不在范圍 如：體操運動員轉體 ，跳水運動員向內、向外轉體 經過1小時時針、分針、秒針轉了多少度？這些例子不僅不在范圍 ，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，用運動的思想來研究角的概念。二、講解新課：   1.⑴“旋轉”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉到另一位置OB，就形成角α.旋轉開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點.突出“旋轉”  注意：“頂點”“始邊”“終邊”⑵.“正角”與“負角”“零角”我們把按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角，“正角”與“負角”是由旋轉的方向決定的。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零角.記法：角 或   可以簡記成 。⑶意義用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。1° 角有正負之分    如：a=210°     b=-150°    g=660°2° 角可以任意大    實例：體操動作：旋轉2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）3° 還有零角     一條射線，沒有旋轉角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角.要注意，正角和負角是表示具有相反意義的旋轉量。2.“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與 軸的正半軸重合，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限,我們稱其為界限角）下面由學生自己分別舉出終邊在一、二、三、四象限的角以及界限角(各舉兩例)例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。3.終邊相同的角  ⑴觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與 個周角的和：  390°=30°+ 360°         -330°=30°-360°                       30°=30°+0×360°       對于任意一個角，若其終邊與 相同，那么它們之間都相差360°的整數倍，則，                        ，，                     ，，                      等它們的始邊和終邊都相同。⑶結論：所有與角 終邊相同的角連同a在內可以構成一個集合： （即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和。）⑷注意以下四點：(1) ； (2) a是任意角；(3) 與a之間是“+”號，如 -30°，應看成 +(-30°)；(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍.三、講解范例：例1：寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并指出它們是哪個象限的角（1）          （2）           （3）           （4） 解：（1）與 終邊相同的角的集合是    因為 是第一象限角，所以集合 中的角都是第一象限的角。    （2）與 終邊相同的角的集合是    因為 是第二象限角，所以集合 中的角都是第二象限的角。（3）與 終邊相同的角的集合是    因為 是第三象限角，所以集合 中的角都是第三象限的角。（4）與 終邊相同的角的集合是    因為 是第四象限角，所以集合 中的角都是第四象限的角。四、課堂練習：1.銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？(答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90°的角可能是零角或負角故它不一定是銳角) 2.已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°.(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 作圖時應注意：頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上（圖略）五、小結：  本節課我們學習了正角、負角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.本節課重點是學習終邊相同的角的表示法.嚴格區分“終邊相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”； “小于90°的角”“第一象限角”和“銳角”的不同意義.��六、課后作業 ：1.下列命題中正確的是(    )A.第一象限的角一定不是負角           B.第二象限角一定是鈍角C.第四象限角一定是負角                     D.若β＝α＋k·360°（k∈Z），則α與β終邊相同2.下列角中,與 終邊相同的角是(    )A.            B.           C.            D. 3.如果 ，那么角 是(    )A.第一象限角         B.第二象限角       C.第三象限角       D.第四象限角4.若角α與β終邊相同，則一定有(    )A.α＋β＝180°                    B.α＋β＝0°     C.α－β＝k·360°，k∈ZD.α＋β＝k·360°，k∈Z5.鐘表經過4小時，時針與分針各轉了            (填度).6.在直角坐標系中，作出下列各角,并判斷各為第幾象限角(或界限角).(1)360°   (2)720°    (3)1080°    (4)1440°參考答案：1.D  2.B  3.C  4.C  5. －120°－1440°6.(略)

角的概念的推廣 篇2

　　教學目標 

　　1.理解引入大于 角和負角的意義.

　　2.理解并掌握正、負、零角的定義.

　　3.掌握終邊相同角的表示法.

　　4.理解象限角的概念、意義及其表示方法.

　　重點難點

　　1.理解并掌握正、負、零角的定義.

　　2.掌握終邊相同角的表示法.

　　教學用具

　　直尺、投影儀

　　教學過程 

　　1.設置情境

　　設置實例（1）用扳手擰螺母（課件）；（2）跳水運動員身體旋轉（視頻）.說明旋轉第二周、第三周……，則形成了更大范圍內的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法.

　　2.探索研究

　　（1）正角、負角、零角概念

　　①一條射線由原來位置 ，繞著它的端點 ，按逆時針方向旋轉轉到 形成的角規定為正角，如圖中角 ；把按順時方向旋轉所形成的角規定為負角，如圖中的 ；射線沒作任何旋轉時，我們認為它這時也形成了一個角，并把這個角規定為零角，與初中所學角概念一樣， 、 ，點 分別叫該角的始邊、終邊、角頂點.

　　②如果把角頂點與直角坐標系原點重合，角的始邊在 軸的正半軸上，這時，角的終邊落在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角，特別地，如果角的終邊落在坐標軸上，就說該角不屬于任何象限，習慣上稱其為軸上角.

　　③我們作出 ， 及 三個角，易知，它們的終邊相同。還可以看出， ， 的終邊也是與 角終邊重合的，而且可以理解，與 角終邊相同的角，連同 在內，可以構成一個集合，記作 .一般地，我們把所有與角 終邊相同的角，連同角 在內的一切角，記成 ， 或寫成集合 形式.

　　（2）例題分析

　　【例1】在 ～ 間，找出與列列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） .

　　解：（1）∵

　　∴與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；

　　（2）∵

　　∴與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；

　　（3）

　　所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角.

　　總結：草式寫在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進行；負的角度除以 ，商是負數，它的絕對值應比被除數為其相反數時相應的商大1，以使余數為正值.

　　練習：（學生板演，可用投影給題）

　　（1）一角為 ，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為_______.

　　（2）集合 中，各角的終邊都在（      ）

　　A. 軸正半軸上，

　　B. 軸正半軸上，

　　C. 軸或 軸上，

　　D. 軸正半軸或 軸正半軸上

　　解答：（1） （2）C

　　【例2】寫出與下列各角終邊相同的角的集合 ，并把 中適合不等式 的元素 寫出來：

　　（1） ；（2） ；（3） .

　　解：（1）

　　中適合 的元素是

　　（2）

　　滿足條件的元素是

　　（3）

　　中適合元素是

　　說明：與角 終邊相同的角，連同 在內可記為 ， 這里

　　（1） ； （2） 是任意角；

　　（3） 與 之間是“＋”連接，如 應看做 ；

　　（4）終邊相同角不一定相等，但相等的角終邊必相同，終邊相同的角有無數個，它們彼此相差 的整數倍；

　　（5）檢查兩角 ， 終邊是否相同，只要看 是否為整數.

　　練習：（學生口答：用投影給出題）

　　（1）請用集合表示下列各角.

　　① ～ 間的角 ②第一象限角 ③銳角 ④小于 角.

　　（2）分別寫出：

　　①終邊落在 軸負半軸上的角的集合；

　　②終邊落在 軸上的角的集合；

　　③終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；

　　④終邊落在四象限角平分線上的角的集合.

　　解答（1）① ；

　　② ；

　　③ ；④

　　（2）① ；

　　② ；

　　③ ；

　　④ .

　　說明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， ～ 間的角，根據課本約定它包括 ，但不包含 .

　　【例3】用集合表示：

　　（1）第三象限角的集合.

　　（2）終邊落在 軸右側的角的集合.

　　解：（1）在 ～ 中，第三象限角范圍為 ，而與每個 角終邊相同的角可記為 ， ，故該范圍中每個角適合 ， ，故第三象限角集合為 .

　　（2）在 ～ 中， 軸右側的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉” 后，得 ， ，故 軸右側角的集合為 .

　　說明：一個角按順、逆時針旋轉 （ ）后與原來角終邊重合，同樣一個“區間”內的角，按順逆時針旋轉 （ ）角后，所得“區間”仍與原區間重疊.

　　3.練習反饋

　　（1）與 的終邊相同且絕對值最小的角是______________.

　　（2）若角 與角 的終邊重合，則 與 的關系是___________，若角 與角 的終邊在一條直線上，則 與 的關系是____________.

　　（3）若 是第四象限角，則 是（     ）.

　　A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角  D.第四象限角

　　答案：（1） ；

　　（2） ， ， ；

　　（3）C

　　4.總結提煉

　　判斷一個角 是第幾象限角，只要把 改寫成 ， ，那么 在第幾象限， 就是第幾象限角，若角 與角 適合關系： ， ，則 、 終邊相同；若角 與 適合關系： ， ，則 、 終邊互為反向延長線.判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關系，可首先把它們化為： ， 這種模式（ ），然后只要考查 的相關問題即可.另外，數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法.

　　課時作業 

　　1.在 到 范圍內，找出與下列各角終邊相同角，并指出它們是哪個象限角

　　（1） （2） （3） （4）

　　2.寫出終邊在 軸上的角的集合（用 ～ 的角表示）

　　3.寫出與 終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式 的元素 寫出來.

　　4.時針走過3小時20分，則分鐘所轉過的角的度數為______________，時針所轉過的角的度數為______________.

　　5.寫出終邊在直線 上的角的集合，并給出集合中介于 和 之間的角.

　　6.角 是 ～ 中的一個角，若角 與 角有相同始邊，且又有相同終邊，則角 .

　　參考答案：

　　1.（1）   （2）   （3）   （4）

　　2.

　　3. ， 或

　　4. ，

　　5. ， 或

　　6.