說課—《等差數(shù)列前n項和的公式》

教學目標

　　A、知識目標：

　　掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

　　B、能力目標：

　　（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

　　（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學生類比思維能力。

　　（3）通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　C、情感目標：（數(shù)學文化價值）

　　（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

　　（2）通過公式的運用，樹立學生"大眾教學"的思想意識。

　　（3）通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學史，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感。

教學重點：等差數(shù)列前n項和的公式。

教學難點：等差數(shù)列前n項和的公式的靈活運用。

教學方法：啟發(fā)、討論、引導式。

教具：現(xiàn)代教育多媒體技術(shù)。

教學過程

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，導入新課。

　　師：上幾節(jié)，我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念、通項公式及其有關(guān)性質(zhì)，今天要進一步研究等差數(shù)列的前n項和公式。提起數(shù)列求和，我們自然會想到德國偉大的數(shù)學家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小學四年級時，一次教師布置了一道數(shù)學習題："把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？"年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使教師非常吃驚，那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？如果大家也懂得那樣巧妙計算，那你們就是二十世紀末的新高斯。（教師觀察學生的表情反映，然后將此問題縮小十倍）。我們來看這樣一道一例題。

　　例1，計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

　　這道題除了累加計算以外，還有沒有其他有趣的解法呢？小組討論后，讓學生自行發(fā)言解答。

　　生1:因為1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可湊成5個11，得到55。

　　生2：可設(shè)S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根據(jù)加法交換律，又可寫成　　S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

　　上面兩式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
　　　　　　　　　　　　　　　10個

　　所以我們得到S=55，

　　即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

　　師：高斯神速計算出1到100所有自然數(shù)的各的方法，和上述兩位同學的方法相類似。

　　理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50個101，所以1+2+3+......+100=50×101=5050。請同學們想一下，上面的方法用到等差數(shù)列的哪一個性質(zhì)呢？

　　生3：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若m+n=p+q，則am+an=a_p+a_q.

　　二、教授新課（嘗試推導）

　　師：如果已知等差數(shù)列的首項a₁，項數(shù)為n，第n項a_n，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據(jù)上面的例子同學們自己完成推導，并請一位學生板演。

　　生4：Sn=a₁+a₂+......a_n-1+a_n也可寫成

　　Sn=a_n+a_n-1+......a₂+a₁

　　兩式相加得2Sn=（a₁+a_n)+(a₂+a_n-1)+......(a_n+a₁)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　n個

　　　　　　　　=n(a₁+a_n)

　　　　　　所以Sn=(I)

　　師：好！如果已知等差數(shù)列的首項為a₁，公差為d，項數(shù)為n，則a_n=a₁+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na₁+ d(II)

　　上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數(shù)列的前n項和公式。公式（I）是基本的，我們可以發(fā)現(xiàn)，它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比，這里的上底是等差數(shù)列的首項a₁，下底是第n項a_n，高是項數(shù)n。引導學生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個量？（a₁，d，n，a_{n，Sn），它們由哪幾個關(guān)系聯(lián)系？［an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d］；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應(yīng)用。}

　　三、公式的應(yīng)用（通過實例演練，形成技能）。

　　1、直接代公式（讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式）例2、計算：

　　（1）1+2+3+......+n

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　　（3）2+4+6+......+2n

　　（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　請同學們先完成（1）-（3），并請一位同學回答。

　　生5：直接利用等差數(shù)列求和公式（I），得

　　（1）1+2+3+......+n=

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)=

　　（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　　師：第（4）小題數(shù)列共有幾項？是否為等差數(shù)列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應(yīng)如何解答？小組討論后，讓學生發(fā)言解答。

　　生6：（4）中的數(shù)列共有2n項，不是等差數(shù)列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數(shù)列，所以

　　原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)

　　　　=n^2-n(n+1)=-n

　　生7：上題雖然不是等差數(shù)列，但有一個規(guī)律，兩項結(jié)合都為-1，故可得另一解法：
　　原式=-1-1-......-1=-n
　　　　　　　n個

　　師：很好！在解題時我們應(yīng)仔細觀察，尋找規(guī)律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數(shù)列的項數(shù)，否則會引起錯解。

　　例3、（1）數(shù)列{a_n}是公差d=-2的等差數(shù)列，如果a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，求a1，d，S10。

　　生8：（1）由a₁+a₂+a₃=12得3a₁+3d=12，即a₁+d=4

　　　　　又∵d=-2，∴a₁=6

　　　　　∴S12=12 a₁+66×（-2）=-60

　　生9：（2）由a₁+a₂+a₃=12，a₁+d=4
　　　　　　a₈+a₉+a₁₀=75，a₁+8d=25

　　解得a₁=1，d=3 ∴S10=10a₁+=145

　　師：通過上面例題我們掌握了等差數(shù)列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構(gòu)造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二），請同學們根據(jù)例3自己編題，作為本節(jié)的課外練習題，以便下節(jié)課交流。

　　師：（繼續(xù)引導學生，將第（2）小題改編）

　　①數(shù)列{a_n}等差數(shù)列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，且Sn=145，求a₁，d，n

　　②若此題不求a₁，d而只求S10時，是否一定非來求得a₁，d不可呢？引導學生運用等差數(shù)列性質(zhì)，用整體思想考慮求a₁+a₁₀的值。

　　2、用整體觀點認識Sn公式。

　　例4，在等差數(shù)列{a_n}， （1）已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求S16；（2）已知a₆=20，求S11。（教師啟發(fā)學生解）

　　師：來看第（1）小題，寫出的計算公式S16==8(a₁+a₆)與已知相比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　　生10：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₁₆=a₂+a₁₅=a₅+a₁₂=18，所以S16=8×18=144。

　　師：對！（簡單小結(jié)）這個題目根據(jù)已知等式是不能直接求出a₁，a₁₆和d的，但由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a₁與a_n的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數(shù)學問題的體現(xiàn)。

　　師：由于時間關(guān)系，我們對等差數(shù)列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導學生觀察當d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，那么從二次（或一次）的函數(shù)的觀點如何來認識Sn公式后，這留給同學們課外繼續(xù)思考。

　　最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

　　已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，若對于所有自然數(shù)n，都有Sn=。數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由。

　　四、小結(jié)與作業(yè)。

　　師：接下來請同學們一起來小結(jié)本節(jié)課所講的內(nèi)容。

　　生11：1、用倒序相加法推導等差數(shù)列前n項和公式。

　　2、用所推導的兩個公式解決有關(guān)例題，熟悉對Sn公式的運用。

　　生12：1、運用Sn公式要注意此等差數(shù)列的項數(shù)n的值。

　　2、具體用Sn公式時，要根據(jù)已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。

　　3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

　　師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應(yīng)用所學性質(zhì)，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人，去發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)，主動積極地去學習。

　　本節(jié)所滲透的數(shù)學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數(shù)等。

　　數(shù)學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數(shù)思想等。

　　作業(yè)：P49：13、14、15、17