《說數》教案
顯示一下指數的威力！”
指數是同一數的連乘積。例如國際象棋的棋盤共有64格，在這些格子里按指數律放米
粒，除了第一格放1粒米以外，其余的格子內放的米粒數都是2的連乘積：第二格里的米數
是2，第三格里是2x2=4，第四格里是2x2x2=8……以此類推，最后一格－－第六十四格里
是2連乘63次，大約等于922億億！如一斤米以兩萬粒計算，就合461萬億斤！將全中國
的耕地都拿來種稻米，要好幾百年才能收這么多。如果將前面63格里的米粒也算在內，總
數還要增加近一倍！這就是指數的威力，難怪國王不知所措了。
自然界中有不少事物是以指數律增長的。細菌的繁殖即為一例：細菌一般是以分裂進行
繁殖的，一變二，二變四，四變八……如果環境條件適合，往往幾小時就增加一倍！這樣的
指數增長要不了多久，整個地球表面就被這一種細菌占滿了！但是為什么這種災難從來沒有
發生過呢？原來指數增長只是一種數學規律，能否在現實世界中發生還要看物質條件。細菌
的繁殖需要養料，現實世界中養料是有限的，還有別的生物分享，等到細菌獲得的養料將近
耗盡時，增長就會減緩以至停頓，這種現象稱為飽和。
由于指數增長的速度極快，而且越來越快。只要時間足夠長，就會超過天文數字而趨向
無限大。所以現實世界中的任何指數增長現象必然會達到飽和。下面是兩個實例。
從事電腦和集成電路工作的人都知道有一條根據經驗得出的“摩爾定律”：電腦的運行速
度及存儲容量每隔18個月就增加一倍。這個規律已保持了幾十年，迄今為止仍然成立。問
題是會不會永遠保持下去？根據現實中的指數增長必然會達到飽和的原理，就可以斷定摩爾
定律決不可能永遠保持下去。具體機制是，電腦速度和存儲量的增長都是靠不斷縮小集成電
路晶片上電子元件的尺寸來實現的，目前已經做到比百萬分之一米還要小，再繼續縮小下去
就和原子的直徑差不多了。小到這種程度，電子的運動規律就要起變化，微觀的量子效應將
起主導作用。到那時不僅摩爾的指數增長定律會飽和，而且照老規矩設計的微電路根本無法
正常運行。科學家未雨綢繆，已在研究量子元件，為下一代的集成電路作準備了。但不管怎
樣，摩爾定律不可能永遠保持下去。
另一個例子是“信息爆炸”。本世紀以來，書籍、報刊、資料等所包含的信息量大約每五
年增加一倍，根據上述同樣的原理，這種信息量的指數增長也不可能永遠保持下去，遲早會
達到飽和。具體機制是，信息是為了給人利用的，太多了就無法有效地加以利用，到那時信
息量的指數增長就會受到需求不足的抑制而趨于飽和。
我們已經看到指數增長的強大威力。科學家日常和指數打交道，想必不會忽視。也不盡
然，有時不小心也會犯錯，下面講一個因此而鬧出笑話的故事。六十年代初，美國一位信息
科學家（姑隱其名）靈機一動，想出一個絕妙的主意，發表文章說，人的大腦所進行的智力
活動都可以通過選擇來實現。他舉例說明：作家寫文章屬于高級智力活動，寫出來的文章不
僅要有意義，要符合文法和修辭的規則，還要講究氣勢、意境和美等等。但是如果有一定的
選擇機制，猴子也能辦到！這可真是一語驚人，但他并非開玩笑。他說給猴子一架打字機，
讓它在鍵盤上任性亂打，這樣打出來的東西當然絕大部分是垃圾，但偶爾也會出現一句有意