自然科學(xué)論文選讀
每個形式體系，每個規(guī)則系統(tǒng)里都有某種戲法。猶太教法典甚至希伯萊神秘教義的有些東西看起來對智力沒有什么益處，它們是符合某種語法規(guī)則的烹飪配方法的龐大集子，有的或許還有點(diǎn)想象力，有的就玄妙莫測，反正是相當(dāng)隨心所欲的。但許多世紀(jì)以來，千萬個學(xué)者對這些著作進(jìn)行了鉆研、記錄、分析和歸類，這些工作可能就鍛煉了人們的記憶力和推理能力。正像磨刀石可以磨刀一樣，大腦可以在思考對象之鈍物上磨礪得敏銳起來，各種方式的勤奮思索都有它的價值。
數(shù)學(xué)上有許多命題，就像那個叫做“費(fèi)馬大定理”的，似乎很特殊，與數(shù)論的主體無關(guān)。它們陳述起來很簡單，卻使得那些最了不起的天才想要證明它們的全部努力都付諸東流。這些命題激發(fā)了青年人才（包括我本人）去思考更為一般的問題。就費(fèi)馬問題來說，由于它本身的專門和自成一脈，在數(shù)學(xué)發(fā)展最近三個世紀(jì)里已經(jīng)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)思想上頗有生命力的新概念的創(chuàng)立。尤其是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的所謂理想理論。數(shù)學(xué)史上有一系列這樣的創(chuàng)造。
可以創(chuàng)造一般的空間概念。它無疑是我們感覺到的物質(zhì)空間的抽象，但既不完全受其規(guī)律支配，也非惟一地為其映象；它可以推廣到n大于三的n維甚至直到無限多維空間；它至少作為一種語言在描述物理自身的基礎(chǔ)上極為有效——這些都是人腦的能力所創(chuàng)造的奇跡嗎？還是物質(zhì)現(xiàn)實(shí)的本性所展現(xiàn)的呢？無限有著不同的等級和種類這一點(diǎn)究竟是發(fā)明還是“發(fā)現(xiàn)”，這對于敏感善思的頭腦不僅有哲學(xué)上的影響而且不止于此，還有顯著的心理學(xué)影響。
說到數(shù)學(xué)當(dāng)然還有其他科學(xué)——特別是物理——的奇異的魅力和神秘的吸引力，不妨注意一下經(jīng)常發(fā)生的一種現(xiàn)象，即下象棋的水平不高的棋手甚至普通新手走出了很有深度的妙局。我經(jīng)常注意不熟練的或棋藝平常的初學(xué)者。在約莫15步以后看他們的盤面就常常會發(fā)現(xiàn)雙方都有許多妙著可走，這大概總是出于偶然而不是事先構(gòu)想好的。我就奇怪，撇開那甚至尚未看出這些妙著的幼稚棋手不談，從這盤棋本身來說是怎么一步步走到這樣極富藝術(shù)性和耐人尋味的局面的。我不知道“走”的游戲里是否也會有類似的情況。雖然由于對這種絕妙的游戲的門道我本人知之不多而無法判斷，但我很想知道，一個內(nèi)行面對游戲的一個局面是否就說得出這是偶然造成的還是那巧妙游戲的正常的合乎邏輯的發(fā)展。 在科學(xué)上，特別是數(shù)學(xué)上，某些算法似乎有類似的奇妙而有趣的現(xiàn)象。它們自身似乎有逐步展開的能力，就像求解問題的過程和觀點(diǎn)的逐步發(fā)展形成，開始看來只是為特定目的而設(shè)計(jì)的工具會有一些預(yù)想不到、出乎意外的新用途。
順便說起，我想起一個我不知道如何解答的小小哲學(xué)難題：假定有一種單人或兩人玩的紙牌游戲過程中，玩牌者可以作弊一到二次。例如在坎菲爾德紙牌游戲里，如果有一次而且僅有一次，將牌面改換一二張牌，游戲或者說對策并沒有被破壞。它還是一場數(shù)學(xué)意義上嚴(yán)格、完整的紙牌對策，不過是另一種紙牌對策而已，只是內(nèi)容變得更豐富一點(diǎn)、更一般化。但要是取一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)，一個公理系統(tǒng)并允許加入一二條錯誤的命題，結(jié)果馬上就會是胡說八道，因?yàn)橹灰幸粭l假命題，就會要什么結(jié)果就推得出什么結(jié)果。這兩者的區(qū)別在哪里？也許在于事實(shí)上只有游戲可以允許某一類的舉動，而數(shù)學(xué)上一旦引入一條錯誤命題就會馬上得出“零等于一”這樣的命題。因此必定有方法可以把數(shù)學(xué)對策加以推廣，使得可以犯一些錯誤但不會得出絕對的胡說，而只是得到一個更廣的系統(tǒng)。