自然科學論文選讀

　　第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數學分析。微積分是近代數學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認為是過高的。盡管我認為它的確比現代數學發端中的任何其它事物具有更多的歧義性，但是數學分析的系統，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術上的進步。
　　微積分的起源顯然是經驗的，開普勒嘗試著做的最早的積分，被稱為“dolicho-metry”---小桶的量度---即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化、經驗的幾何學，而不是歐幾里得以后的那種幾何學，開普勒是完全知道這些的。牛頓和 萊布尼茨的那些主要成果和主要發現確實起源于物理學。牛頓發明的“流數”運算，本質是為了力學。事實上，這兩門學科，微積分和力學，是由它們或多或少地結合在一起而得到發展的。微積分的最初的一些陳述，數學上甚至可以是不嚴格的。一個不精確的半物理的陳述，是牛頓以后一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述！沒有數學家想排斥它。那個時期確實也產生了第一流的數學。即使在本質上是由cauchy重建的嚴格性盛行之后，一種特殊的半物理方法在黎曼那里仍然得到了復萌。黎曼的科學的個性本身就是一個數學的兩重性的光輝榜樣。自weierstrass以來，分析數學似乎變得完全抽象、嚴格和非經驗了，其實這也不少絕對真實的。在最近兩代人中發生的有關數學和邏輯的“基礎”的爭論，驅散了許多關于這方面的錯誤的幻想。
　　這為我們帶來了第三個例子，這個例子更多地是論述數學與哲學或認識的關系，而不是數學和自然科學的關系，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數學嚴格性的概念并不是不可改變的。嚴格性概念的可變性表明：在數學抽象之外的某些事物，作為補償不足必須進入數學。在分析關于“基礎”的爭論時有兩件事是清楚的：第一，已經引入某些非數學事物，這是本質的，不管它與經驗科學或者哲學或者兩者任何聯系，它的非經驗的特點，僅當人們假設哲學能夠獨立于經驗而存在時才能使人注意。第二，不管關于“基礎”的爭論可能作出的最好解釋，數學的經驗來源是受到我們較早提到的例子（幾何學和微積分）的強有力地支持的。
　　我希望上述的三個例子已足以說明許多最好的靈感來自于經驗。很難相信，存在著與人類所有經驗相聯的絕對的、不可動搖的數學嚴格性的概念。
　　對任何數學家來說，很難相信數學是一門純粹經驗科學，或者說，所有數學概念都來源于經驗主體。現代數學中有各式各樣重要部分，它的經驗來源是不可追溯的。 或者說，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經驗根源之后，就面目全非了。在有些數學領域中，數學家的主觀上的成功標準和作用價值，是自身相容、符合美學和脫離（或幾乎脫離）經驗。在集合論中，這更為明顯。對于實變函數論和實點集論也是如此。然而可能在十年之后，有的可能在一個世紀之后，卻變得對物理學十分有用。
　　數學概念來源于經驗，盡管有時系譜是長遠的曲折的，這種說法是一個適當的對真理的逼近。真理太復雜了，以致能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設想出來后，這個主題開始按它自己特有的活力生長，并且在幾乎完全按美學動機給出的創造物方面；它將比任何事物，特別是經驗科學來得好。但是，我相信還有問題需要進一步強調，因為一門設想學科遠離它的經驗來源，或者說，如果僅是間接地來自“現實性”，是由現實激勵生成的第二或第三代學科的話，這是一個最大的危險。它將變得愈來愈美學化，愈來愈藝術化。如果這個領域是由相關聯的仍然與經驗緊密相聯的學科圍繞著的話，或者說，如果這些學科處于受到特殊的、訓練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但也有一種重大的危險，學科只沿著遠離根源的流一直持續展開下去，并且分割成多種沒有意義的分支，學科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠離經驗根源，一門數學學科將有退化的危險。